實驗室討論

貝葉斯定理初級讀本(神經影像學)

貝葉斯框架,一個處理條件概率的框架,在一般的神經成像和具體的腦電圖中有大量的應用。但首先,我們先來了解一下貝葉斯定理及其原理。

貝葉斯方法在腦電數據分析領域有著廣泛的應用。例如,幾個神經元相互作用的模型可以產生相同的腦電圖結果。哪個模型或假設是最有可能的?此外,我們是否可以通過集成以前獲得的領域知識來減少關於我們模型的不確定性?這些問題(以及更多問題)都可以在貝葉斯框架中得到解答。另一個應用是用概率的方式來製定腦電反問題,並使用貝葉斯方法來估計腦電數據中源電流的分布。

頻率主義者和條件概率

我們所熟悉的最常見的概率概念是,當一個實驗進行多次時,它代表結果出現的頻率。例如,如果我們拋一枚硬幣1000次,我們預計會得到500次正麵。這個概念,基於事件的長期運行頻率,被稱為伟德app苹果版二维码概率的頻率論解釋

貝葉斯對概率的解釋建立在利用概率來量化事物的不確定性的概念上。在理解貝葉斯定理的含義之前,讓我們先快速熟悉一下聯合概率、條件概率和邊際概率的概念。假設有6個編號為1到6的球。設A表示撿到5號球的事件,B表示撿到奇數號球的事件(見圖1)。

現在如果有人問一個問題-如果你撿到的是奇數,那麼撿到5號球的概率是多少?在數學上,我們的目標是計算P (A | B),即A在給定B的情況下發生的概率。這看起來很容易計算。因為我們知道B已經發生了,這意味著1、3或5已經被選中。現在選中的球是5的概率是1/3。這也可以用一個公式給出,

P(a | b) = P(a, b) / P(b)

這裏P(A,B)是A和B都發生的概率,在我們的例子中就是1/6,而隻有B發生的概率,也就是P(B)是1/2(因為在6種可能的結果中,隻有3種結果可能是奇數),因此P(A|B) = 1/6 / 1/2 = 1/3

術語P(A|B)也被稱為條件概率,P(B)被稱為邊際概率。曾經可以類比地定義,

P(b | a) = P(a, b) / P(a)

貝葉斯定理

利用上麵的兩個方程,我們得到了貝葉斯定理,它告訴我們

P(b | a) = P(a | b) * P(b) / P(a)

好的!這告訴了我們什麼,這有什麼用?現在看起來我們隻是簡單地乘以一些概率然後除以一些概率?

讓我們用一個具體的例子來解釋這個公式及其作用。假設有一種能夠檢測疾病d的測試,現在已知該測試的準確率為90%。也就是說,每1000名患有這種疾病的人中,就有900人會被檢測為陽性。另外,據了解,8%的患者在沒有疾病的情況下也會得到陽性結果。我們還知道它是一種罕見的疾病,在人群中的發病率為1%,即e.p (D) = 0.01。因此,P(D*) = 1-0.01 = 0.99,表示人口中沒有患病的百分比。

現在你已經做了檢查,結果是陽性的。你很可能會相信這個結果。畢竟,這個測試有90%的準確率。然而,這是一個正確的推論嗎?好吧,根據貝葉斯定理,你必須改進你的答案!

讓我們用圖表來可視化整個場景。假設您患有這種疾病,因此您屬於圖2中的紅色區域。現在你做測試,結果可能是+ve或-ve。在這種情況下,由於測試的準確率為90%,因此它為陽性的概率為0.90,因此我們可以定義條件概率P(+ve|D) = 0.90。因此,P(-ve|D),也就是說,如果你患有這種疾病,你的測試結果將是陰性,必須是0.10,因為總概率應該是1。

類似地,如果您沒有患病(因此屬於青色部分),同樣有兩種情況可能——您將測試為陽性,這種情況發生的概率,用P(+ve|D*)表示為0.08(我們知道,該測試100次中有8次給出假陽性)。因此,如果你沒有患病,檢測結果為陰性的概率為P(-ve|D*) = 0.92。現在我們有了所有這些信息和概率,我們感興趣的是-我患病的概率是多少,考慮到篩選I +ve ?也就是P(D|+ve)是多少?貝葉斯定理拯救了我們!

根據貝葉斯定理(見上式)

P(D|+ve) = P(+ve|D) P(D) / P(+ve)

我們可以得到分子中的兩項:P(+ve|D) = 0.90和P(D) = 0.01。那麼P(+ve)這個詞呢? P(+ve)是總體篩查陽性的概率?我們可以沿著上麵的洋紅色分支計算,這就導致了篩查陽性的情況,無論你是否有疾病。

因此,P (+ ve) = P (+ ve | D) P (D) + P (D *) (+ ve | D *) = 0.90 * 0.01 + 0.99 * 0.08 = 0.0882。將這些值代入上麵的方程,我們得到P(D|+ve)≈0.10。換句話說,如果你的檢測呈陽性,你隻有大約10%的機會患上這種疾病,盡管測試的準確率高達90%!

在貝葉斯術語中,P(D|+ve)被稱為後驗概率,P(D)被稱為先驗信念。你可以通過再次檢測極大地降低不確定性你患病的先驗概率P(D)現在是10%而不是1%如果您的第二次篩選結果也是正的,應用貝葉斯定理現在將產生P(D|+ve) = 0.53,即53%!因此,使用更新的先驗信念迭代貝葉斯定理可以產生極其精確的信息。相比之下,頻率論解釋並不試圖計算像P(疾病|+ve)這樣的量。

在接下來的博客文章中,我們將看到貝葉斯定理在神經成像數據分析中的一些應用。

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